Immagina di poterti muovere solo avanti e indietro su un filo sottile: questo è il mondo della retta dei numeri reali. Se volessi saltare in alto, il filo non potrebbe reggerti. Introdurrenumeri complessiè come aggiungere una nuova dimensione al tuo mondo. Ogni numero complesso della forma $z = a + bi$ non è più semplicemente un punto sulla retta dei numeri reali, ma un punto nel piano cartesiano con coordinate $(a, b)$, o un vettore uscente dall'origine. Questa perfetta corrispondenza tra "numero" e "forma" rappresenta uno dei passi più grandi nella storia della matematica.
Definizione algebrica e corrispondenza geometrica dei numeri complessi
Nel primo volume del materiale obbligatorio selettivo, abbiamo studiato il sistema dei numeri complessi. I numeri complessi sono composti daparte realeeparte immaginariacomposti dalla parte reale e dalla parte immaginaria, con la forma algebrica standard $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Per comprendere intuitivamente i numeri complessi, abbiamo introdottoil piano complesso:
- asse reale: corrisponde all'asse $x$, che rappresenta la parte reale del numero complesso.
- asse immaginario: corrisponde all'asse $y$, che rappresenta la parte immaginaria del numero complesso.
- punto e numero complesso: il numero complesso $z = a + bi$ ha una corrispondenza biunivoca con il punto $Z(a, b)$.
- vettore e numero complesso: il numero complesso $z = a + bi$ ha una corrispondenza biunivoca con il vettore piano $\vec{OZ}$.
Il modulo del numero complesso $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ha un significato geometrico: è la distanza dal punto $Z$ all'origine nel piano complesso. Mentre $|z_1 - z_2|$ rappresenta la distanza tra due punti.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$